6ta semana: preparacion grafica de la funcion booleana...!

Modos de representación

Existen distintas formas de representar una función lógica, entre las que podemos destacar las siguientes:

• Algebraica
• Por tabla de verdad
• Numérica
• Gráfica

El uso de una u otra, como veremos, dependerá de las necesidades concretas en cada caso.

[editar] Algebraica

Se utiliza cuando se realizan operaciones algebraicas. A continuación se ofrece un ejemplo con distintas formas en las que se puede expresar algebraicamente una misma función de tres variables.

a) F = [(A + BC’)’ + ABC]’ + AB’C

b) F = A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’

c) F = (A + B + C)(A + B + C’)(A + B’ + C’)(A’ + B’ + C’)

d) F = BC’ + AB’

e) F = (A + B)(B’ + C’)

f) F = [(BC’)’(CB)´ (AB’)’]’

g) F = [(A + B)’ + (B’ + C’)’]’

La expresión a) puede proceder de un problema lógico planteado o del paso de unas especificaciones a lenguaje algebraico. Las formas b) y c) reciben el nombre expresiones canónicas: de suma de productos (sum-of-products, SOP, en inglés), la b), y de productos de sumas (product-of-sums, POS, en inglés), la c); su característica principal es la aparición de cada una de las variables (A, B y C) en cada uno de los sumandos o productos. Las d) y e) son funciones simplificadas, esto es, reducidas a su mínima expresión. Las dos últimas expresiones tienen la particularidad de que exclusivamente utiliza funciones NO-Y, la f), o funciones NO-O, la g).

[editar] Por tabla de verdad

Artículo principal: tabla de verdad

Una tabla de verdad contiene todos los valores posibles de una función lógica dependiendo del valor de sus variables. El número de combinaciones posibles para una función de n variables vendrá dado por 2ⁿ. Una función lógica puede representarse algebraicamente de distintas formas como acabamos de ver, pero sólo tiene una tabla de verdad. La siguiente tabla corresponde a la función lógica del punto anterior.
La forma más cómoda para ver la equivalencia entre una tabla de verdad y una expresión algebraica es cuando esta última se da en su forma canónica. Así, la función canónica de suma de productos (o forma canónica disyuntiva)

F = A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’

nos indica que será 1 cuando lo sea uno de sus sumandos, lo que significa que tendrá por lo tanto cuatro combinaciones que lo serán (010 para A’BC’, 100 para AB’C’, 101 para AB’C y 110 para ABC’) siendo el resto de combinaciones 0. Con la función canónica de producto de sumas (o forma canónica conjuntiva) se puede razonar de forma análoga, pero en este caso observando que la función será 0 cuando lo sea uno de sus productos.
También es fácil obtener la tabla de verdad a partir de la función simplificada, pero no así a la inversa.

[editar] Numérica

La representación numérica es una forma simplificada de representar las expresiones canónicas. Si consideramos el criterio de sustituir una variable sin negar por un 1 y una negada por un 0, podremos representar el término, ya sea una suma o un producto, por un número decimal equivalente al valor binario de la combinación. Por ejemplo, los siguientes términos canónicos se representarán del siguiente modo (observe que se toma el orden de A a D como de mayor a menor peso):

AB’CD = 1011₂ = 11₁₀

A’ + B + C’ + D’ = 0100₂ = 4₁₀

Para representar una función canónica en suma de productos utilizaremos el símbolo Σ_n (sigma) y en producto de sumas Π_n (pi), donde n indicará el número de variables. Así, la representación numérica correspondiente a la tabla de verdad del punto anterior quedará como:

F = Σ₃(2, 4, 5, 6) = Π₃(0, 1, 3, 7)

Matemáticamente se demuestra, que para todo término i de una función, se cumple la siguiente ecuación:

F = [Σ_n(i)]' = Π_n(2ⁿ-1-i )

A modo de ejemplo se puede utilizar esta igualdad para obtener el producto de sumas a partir de la suma de productos del ejemplo anterior:

F = Σ₃(2, 4, 5, 6) = [Σ₃(2, 4, 5, 6)]' ' = [Σ₃(0, 1, 3, 7)]' = Π₃(0, 4, 6, 7)

[editar] Gráfica

La representación gráfica es la que se utiliza en circuitos y esquemas electrónicos. En la siguiente figura se representan gráficamente dos funciones algebraicas, una con símbolos no normalizados, superior, y la otra con normalizados, inferior (véanse los símbolos de las puertas lógicas)

Representación gráfica de dos funciones lógicas

[editar] Métodos de simplificación

Por simplificación de una función lógica se entiende la obtención de su mínima expresión. A la hora de implementar físicamente una función lógica se suele simplificar para reducir así la complejidad del circuito.
A continuación se indican los modos más usuales de simplificar una función lógica.

[editar] Algebraico

Artículo principal: Álgebra de Boole

Para la simplificación por este método no sólo bastará con conocer todas las propiedades y teoremas del álgebra de Boole, además se debe desarrollar una cierta habilidad lógico-matemática que se adquiere fundamentalmente con la experiencia.
Como ejemplo se simplificará la siguiente función:

F = A’C’ + ABC + BC’ + A’B’C + A’BC

Observando cada uno de los sumando podemos ver que hay factores comunes en los sumandos 2º con 5º y 4º con 5º que conllevan simplificación:

F = A’C’ + BC’ + BC(A + A’) + A’C(B + B’)

Note que el término 5º se ha tomado dos veces, de acuerdo con la propiedad que diceque A + A´ = 1. Aplicando las propiedades del álgebra de Boole, queda

F = A’C’ + BC’ + BC + A’C

Repitiendo nuevamente el proceso,

F = A’( C’ + C) + B( C’ + C) = A’ + B

No siempre las funciones son tan fáciles de simplificar como la anterior. El método algebraico, por lo general, no resulta cómodo para los no expertos, a los cuales, una vez simplificada una ecuación le pueden quedar serias dudas de haber conseguido la máxima simplificación.

[editar] Gráfico de Karnaugh

Artículo principal: Mapa de Karnaugh

Este método consiste en formar diagramas de 2ⁿ cuadros, siendo n el número de variables. Cada cuadro representa una de las diferentes combinaciones posibles y se disponen de tal forma que se puede pasar de un cuadro a otro en las direcciones horizontal o vertical, cambiando únicamente una variable, ya sea en forma negada o directa.
Este método se emplea fundamentalmente para simplificar funciones de hasta cuatro variables. Para un número superior utilizan otros métodos como el numérico. A continuación pueden observarse los diagramas, también llamados mapas de Karnaugh, para dos, tres y cuatro variables.

Mapas de Karnaugh para dos, tres y cuatro variables

Es una práctica común numerar cada celda con el número decimal correspondiente al término canónico que albergue, para facilitar el trabajo a la hora de plasmar una función canónica.
Para simplificar una función lógica por el método de Karnaugh se seguirán los siguientes pasos:
1º) Se dibuja el diagrama correspondiente al número de variables de la función a simplificar.
2º) Se coloca un 1 en los cuadros correspondientes a los términos canónicos que forman parte de la función.
3º) Se agrupan mediante lazos los unos de casillas adyacentes siguiendo estrictamente las siguientes reglas:

a) Dos casillas son adyacentes cuando se diferencian únicamente en el estado de una sola variable.

b) Cada lazo debe contener el mayor número de unos posible, siempre que dicho número sea potencia de dos (1, 2, 4, etc.)

c) Los lazos pueden quedar superpuestos y no importa que haya cuadrículas que pertenezcan a dos o más lazos diferentes.

d) Se debe tratar de conseguir el menor número de lazos con el mayor número de unos posible.

4º) La función simplificada tendrá tantos términos como lazos posea el diagrama. Cada término se obtiene eliminando la o las variables que cambien de estado en el mismo lazo.
A modo de ejemplo se realizan dos simplificaciones de una misma función a partir de sus dos formas canónicas:

F = Σ₃(0,2,3,4,7) = Π₃(1,2,6)

De acuerdo con los pasos vistos anteriormente, el diagrama de cada función quedará del siguiente modo:

Simplificación de una función de tres variables

La función simplificada tendrá tres sumandos en un caso y dos productos en el otro. Si nos fijamos en el mapa correspondiente a la suma de productos, observamos que en el lazo 1 cambia la variable A (en la celda 0 es negada y en la 4 directa), en el lazo 2 es la C y en el lazo 3 vuelve a ser A. por lo tanto, la ecuación simplificada es:

F = B’C’ + A’B + BC

Razonando de modo similar en el mapa de productos de sumas, nos quedará lo siguiente:

F = (B + C’)(A’ + B’ + C)

[editar] Numérico de Quine-McCluskey

Artículo principal: Algoritmo Quine–McCluskey

El algoritmo Quine-McCluskey permite la simplificación de funciones lógicas de cualquier número de variables y es el que se utiliza para diseñar aplicaciones informáticas en las que se necesite obtener funciones simplificadas.
A continuación se indican los pasos a seguir en este método a partir de un ejemplo.
1º) Se expresa la función a simplificar en su forma canónica de suma de productos.
Sea la siguiente función a simplificar:

F = S₄ (0,1,2,3,5,9,11,12,13,15)

2º) Se forma una tabla con el valor decimal de la combinación, el estado de las variables y el índice (número de unos que contiene el estado de las variables).

Comb.	Estado	Índice
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	1
3	0011	2
5	0101	2
9	1001	2
11	1011	3
12	1100	2
13	1101	3
15	1111	4

3º) Se agrupan las combinaciones cuyos estados difieren en una sola variable, sustituyéndola por un guión bajo (_). Las combinaciones utilizadas se marcan con un aspa (X). Hay que fijarse en las combinaciones cuya diferencia entre sus respectivos índices es la unidad.

Agrupación de las combinaciones

4º) Se repite el proceso anterior las veces que sean necesarias y se van eliminando estados idénticos.

Nueva agrupación de las combinaciones

5º) Se forma una tabla con las combinaciones finales y las no agrupadas. Se toman como filas las combinaciones finales y las no agrupadas y como columnas los valores decimales de dichas combinaciones. Cada celda que contenga el valor decimal de una combinación se marca con un aspa. A continuación nos fijamos en aquellas columnas con una sola aspa; sus combinaciones serán esenciales. Finalmente se toman aquellas combinaciones de los valores decimales no seleccionados, teniendo precaución de no tomar aquellas combinaciones cuyos valores decimales hayan sido ya tomados en otras combinaciones. La función simplificada final viene dada por las combinaciones esenciales y estas últimas.

[editar] Funciones incompletas

Hasta ahora todas las funciones estudiadas tienen definido un valor lógico, 0 ó 1, para cada una de las posibles combinaciones. Estas funciones se denominan completas o totalmente definidas. También existen funciones con una o varias combinaciones no definidas, llamadas funciones incompletas. Esta situación puede deberse por las dos causas siguientes:

1. Hay combinaciones de entrada que no existen, por lo que a la salida se le puede asignar indistintamente el valor 0 o el 1.
2. En ciertas combinaciones de entrada la salida del sistema lógico está inhibida, siendo por lo tanto su valor indiferente.

En la tabla de verdad de una función incompleta, los términos indiferentes se designan mediante una equis (X). En cuanto a la forma canónica se separan los términos definidos de los que no lo son (indicados mediante el símbolo φ).
A la hora de simplificar una función incompleta, los términos indiferentes servirán como “comodines” a la hora de tomar lo lazos, esto es, si nos interesa que sea un 1 porque así el lazo es mayor, lo tomaremos como 1, y en caso contrario como 0.

[editar] Minitérmino

Artículo principal: Minterm

Para una función booleana de n variables x1,...xn, un producto booleano en el que cada una de las n variables aparece una sola vez (negada o sin negar) es llamado minitérmino. Es decir, un minitérmino es una expresión lógica de n variables consistente únicamente en el operador conjunción lógica (AND) y el operador complemento o negación (NOT). Por ejemplo, abc, ab'c y abc' son ejemplos de minitérminos para una función booleana con las tres variables a, b y c.

[editar] Maxitermino

Artículo principal: Maxterm

Un maxitérmino es una expresión lógica de n simbolos que consiste únicamente en la disyunción lógica y el operador complemento o negación. Los cuales están unidos por los operadores del algebra de boole (+ . ‘) Por ejemplo, los siguientes términos canónicos son maxitérminos:

1. a + b' + c
2. a' + b + c

5ta semana: leyes algebras booleanas...

leyes fundamentales:

1. Ley de idempotencia:

2. Ley de involución:

3. Ley conmutativa:

4. Ley asociativa:

5. Ley distributiva:

6. Ley de cancelación:

7. Ley de identidad:

8. Leyes de De Morgan:

Constantes

AND: Y:

• 0 · 0 = 0 0 · 0 = 0
• 0 · 1 = 0 0 · 1 = 0
• 1 · 1 = 1 1 · 1 = 1

OR: O:

• 0 + 0 = 0 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1 0 + 1 = 1
• 1 + 1 = 1 1 + 1 = 1

NOT: NO:

• 0 = 1 0 = 1
• 1 = 0 1 = 0

Constant and variable Constante y variable

AND: Y:

• 0 · X = 0 0 · x = 0
• 1 · X = X 1 · X = X

OR: O:

• 0 + X = X 0 + X = X
• 1 + X = 1 1 + X = 1

One variable Una variable

AND: Y:

• X · X = X X · X = X
• X · X = 0 X · X = 0

OR: O:

• X + X = X X + X = X
• X + X = 1 X + X = 1

NOT: NO:

• NOT X = X NO X = X
•  

  Absorción

X + X · Y = X X + X · Y = X

X + X · Y X + X · Y = X ·1 + X · Y · 1 = X + X · Y = X · (1+ Y ) = X · (1 + Y) = X · 1 = X · 1 = X = X

X · ( X + Y ) = X X · (X + Y) = X

X · ( X + Y ) = X X · (X + Y) = X = ( X +0) · ( X + Y ) = (X 0) · (X + Y) = X + (0· Y ) = X + (0 Y ·) = X + 0 = X + 0 = X = X

No name Sin nombre

X + X · Y = X + Y X + X · Y = X + Y

X + X · Y X + X · Y = ( X + X ) · ( X + Y ) = (X + X) · (X + Y) = 1 · ( X + Y ) = 1 · (X + Y) = X + Y = X + Y

X · ( X + Y ) = X · Y X · (X + Y) = Y · X

X · ( X + Y ) X · (X + Y) = X · X + X · Y · X = X + X · Y = 0 + X · Y = 0 + X · Y = X · Y = X · Y

X · Y + X · Y = X X · Y + X · Y = X

X · Y + X · Y X · Y + X · Y = X · ( Y + Y ) = X · (Y + Y) = X · 1 = X · 1 = X = X

( X + Y ) · ( X + Y ) = X (X + Y) · (X + Y) = X

( X + Y ) · ( X + Y ) (X + Y) · (X + Y) = X + ( Y · Y ) = X + (Y · Y) = X + 0 = X + 0 = X = X

Consensus Consenso

X · Y + X · Z + Y · Z = X · Y + X · Z X · Y + Z + X · · Y Z = X + Y · X · Z

X · Y + X · Z + Y · Z X · Y + Z + X · · Y Z
= X · Y + X · Z + 1· Y · Z = X + Y · X · Z + 1 · Y · Z
= X · Y + X · Z + ( X + X )· Y · Z = X + Y · X · Z + (X + X) · Y · Z
= X · Y + X · Z + X · Y · Z + X · Y · Z = X + Y · X · Z + X · Y · Z + X · Y · Z
= X · Y + X · Y · Z + X · Z + X · Y · Z = X + Y · X · · Y Z + Z + X · X · Y · Z
= X · Y ·1 + X · Y · Z + X ·1· Z + X · Y · Z = X · Y · 1 + X · · Y Z + X · 1 · Z + X · Y · Z
= X · Y ·(1+ Z ) + X · Z ·(1+ Y ) Y = X · · (1 + Z) + X · Z · (1 + Y)
= X · Y ·1 + X · Z ·1 = Y · X · 1 + X · Z · 1
= X · Y + X · Z = X + Y · X · Z

( X + Y ) · ( X + Z ) · ( Y + Z ) = ( X + Y ) · ( X + Z ) (X + Y) · (X + Z) · (Y + Z) = (X + Y) · (X + Z)

( X + Y ) · ( X + Z ) · ( Y + Z ) (X + Y) · (X + Z) · (Y + Z)
= ( X + Y ) · ( X + Z ) · (0+ Y + Z ) = (X + Y) · (X + Z) · (0 + Y + Z)
= ( X + Y ) · ( X + Z ) · ( X · X + Y + Z ) = (X + Y) · (X + Z) · (X · X + Y + Z)
= ( X + Y ) · ( X + Z ) · ( X + Y + Z ) · ( X + Y + Z ) = (X + Y) · (X + Z) · (X + Y + Z) · (X + Y + Z)
= ( X + Y ) · ( X + Y + Z ) · ( X + Z ) · ( X + Y + Z ) = (X + Y) · (X + Y + Z) · (X + Z) · (X + Y + Z)
= ( X + Y +0) · ( X + Y + Z ) · ( X +0+ Z ) · ( X + Y + Z ) = (X + Y 0) · (X + Y + Z) · (X + Z 0) · (X + Y + Z)
= ( X + Y + 0· Z ) · ( X + Z + 0· Y ) = (X + Y + Z 0 ·) · (X + Z + 0 · Y)
= ( X + Y + 0) · ( X + Z + 0) = (X + Y + 0) · (X + Z + 0)
= ( X + Y ) · ( X + Z ) = (X + Y) · (X + Z)

4ta semana: funsion booleana...

Si se hace un análisis comparativo del cálculo proposicional y la teoría de conjuntos, con sus conectivos lógicos y las operaciones unión, intersección y complemento respectivamente, se observa un comportamiento idéntico.
EL álgebra booleana provee operaciones y reglas para trabajar con el conjunto de {0, 1}. 0 ® F y 1® V.
Las 3 operaciones del álgebra booleana son complemento, suma y producto booleano.
El complemento es definido por ¬0 = 1 y ¬1 = 0. La suma es definido por +, or 1 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 0 + 1=1, 0 + 0 = 0. El producto es definido por •, and 1 • 1 = 1, 1 • 0 = 0, 0 • 1 = 1, 0 • 0 = 0. Precedencia son ¬, • , +.
Ejemplo : Encuentre el valor de 1 • 0 + ¬(0 + 1).
EXPRESIONES BOOLEANAS
Definición : Una expresión booleana es una sucesión de símbolos que incluye 0,1, algunas variables x, y, z y las operaciones booleanas + , •. Para ser más precisos definamos una expresión boolena en n variables x1, x2..., xn recursivamente como:

• Los símbolos 0 y 1 y x1, x2,..., xn son expresiones booleanas en x1, x2,... xn.
• Si E1 y E2 son expresiones booleanas en x1, x2,... xn también lo son E1 + E2; E1 E2 y ¬E1.

Ejemplo : Las siguientes son cuatro expresiones booleanas en las tres variables x, y, z:

• (x + y)•(x + z)
• ¬x•z + ¬x•y + ¬z.

Es obvio que las expresiones del lado izquierdo involucran las tres variables. Las expresiones booleanas 0 y 1 pueden verse como expresiones en cualquier número de variables.
FUNCIONES BOOLEANAS
Definición : La función booleanas F(x,y) con valores 1 donde x = 1 e y = 0 y el valor 0 para todas las otras elecciones x e y. Las funciones booleanas pueden ser representadas usando expresiones con variables y operaciones booleanas.

x	y	F(x, y)
1	1	0
1	0	1
0	1	0
0	0	0

Cada expresión booleana representa una función. El valor de la función es obtenido sustituyendo 0 y 1 por los valores de las variables en la expresión.

x	y	z	x•y	¬x	F(x, y,z) =x•y +¬z
1	1	1	1	0	1
1	1	0	1	1	1
1	0	1	0	0	0
1	0	0	0	1	1
0	1	1	0	0	0
0	1	0	0	1	1
0	0	1	0	0	0
0	0	0	0	1	1

Las funciones booleanas F y G de n variables son iguales si y solo si F(b1, b2, ..., bn) = G(b1, b2, ..., bn). Dos funciones diferentes que tienen los mismos valores de verdad en su tabla son llamadas equivalentes. El complemento de una función booleana F es la función ¬F, donde ¬F(x1, x2, ..., xn) = ¬(F(x1, x2, ..., xn).
La suma booleana F + G y el producto FG es definido por (F + G)(x1, x2, ..., xn) = F(x1, x2, ..., xn) + G(x1, x2, ..., xn) y (FG)(x1, x2, ...,xn) = F(x1, x2, ...,xn) G(x1, x2, ...,xn).
IDENTIDADES EN ÁLGEBRA BOOLEANAS

Equivalencia Lógica
X º ØØX	Doble negación
X • X º X	Idempotencia
X + X º X	Idempotencia
X + (Y + Z) º (X + Y) + Z	Ley asociativa
X • (Y • Z) º (X • Y) • Z	Ley asociativa
(X + Y) º (Y + X)	Ley conmutativa
(X • Y) º (Y • X)	Ley conmutativa
X + (Y • Z) º (X + Y) • (X + Z)	Ley distributiva
X • (Y + Z) º (X • Y) + (X • Z)	Ley distributiva
Ø (X + Y) º ØX • ØY	Ley de De Morgan
Ø (X • Y) º ØX + ØY	Ley de De Morgan
X + 0 º X	Ley de identidad
X • 1 º X	Ley de identidad
X + 1 º 1	Ley de dominación
X • 0 º 0	Ley de dominación
X + (X • Y) º X	Ley de cobertura
X • (X + Y) º X	Ley de cobertura
Ø X • X º 0	Ley de contradicción
ØX + X º 1	Ley de contradicción

Principio de la dualidad : Toda proposición o identidad algebraica sigue siendo válida, si todas las operaciones (+) y (•) y los elementos identidad 0 y 1 son intercambiados. Si una proposición o una expresión algebraica se obtiene de otra por una sola aplicación del principio de la dualidad, la segunda se llamará la dual de la primera y recíprocamente.
Ejemplo

• Se tiene que a + a•b entonces por el principio de la dualidad se puede concluir que a•(a + b).
• Se tiene que x•(x+y) entonces por el principio de la dualidad se puede concluir que a = x +(x•y).

Representación de Funciones Booleanas
Los más importante del algebra booleana es :

• Dados los valores de una función booleana, podemos encontrar una expresión booleana que representa esta función. Las funciones booleanas pueden ser representadas por sumas, productos y complemento booleana de variables (•, +, ¬).

Expansión de Suma de Productos
Ejemplo : Encontrar una expansión booleana que represente las funciones F(x, y, z) y G(x, y, z), las cuales son :

x	y	z	F	G
1	1	1	0	0
1	1	0	0	1
1	0	1	1	0
1	0	0	0	0
0	1	1	0	0
0	1	0	0	1
0	0	1	0	0
0	0	0	0	0

Solución : el producto booleano de F = x¬yz y G= xy¬z + ¬xy¬z.
Definición : Un literal es una variable booleana o su complemento.
Un mintérmino de las variables booleanas x1, x2, ..., xn es un producto booleano y1• y2, ...yn donde yi = xi o yi = ¬xi, un mintérmino es un producto de n literales, con un literal para cada variable.
Forma normal disyuntiva : Una expresión booleana está en forma normal disyuntiva con n variables x1, x2,... xn, si la expresión es una suma de términos del tipo E1(x1) • E2( x2) • ... • En(xn), donde Ei(xi) = xi o ¬xi para i = 1, 2,..., n, y ningún par de términos son idénticos.
Toda expresión booleana que no contiene constantes es igual a una función en forma normal disyuntiva.
Ejemplo.

• Escribir ¬(x•¬y + x•z) + ¬x en F.N.D
• Escribir (x + y)•¬z en F.N.D, luego generar la tabla y encontrar la suma de productos en expansión.
• Encuentre y simplifique la expresión booleana especificada por la siguiente tabla.

  x	y	z	x+y	¬z	(x+y)¬z
  1	1	1	1	0	0
  1	1	0	1	1	1
  1	0	1	1	0	0
  1	0	0	1	1	1
  0	1	1	1	0	0
  0	1	0	1	1	1
  0	0	1	0	0	0
  0	0	0	0	1	0

• Exprese cada una de las siguientes funciones en F.N.D con el menor número posible de variables.
  • (u + v + w)(uv + u’w)’
  • (x + y)(x + y’)( x’ + z’)
  • xyz + (x + y)(x + z)
• Encuentre el complemento de las siguientes funciones: x’z + xz’ xy + x’y + x’y’
• Simplifique las siguientes expresiones usando teoremas del álgebra booleana.
  • xy + (x + y)z’ + y
  • x + y + (x’ + y + z)’
  • yz + wx + z + wz(xy + wz)
  • xyz + x’yz + x’y’z’ + x’y’z + xy’z + xy’z’.